“【】”符号内是个人注解，一般是总结、释义等等

1. 定义与历史：
   • λ演算，由阿隆佐·邱奇（Alonzo Church）创立，是一种形式系统，用于研究函数定义、函数应用和递归等。
   • 它表达了最小的编程语言概念，虽然没有传统编程语言中的数字、字符串或布尔值，但能够表达任何可计算的函数。
   • 【λ演算是最基础的编程模型，虽然简单，但足以表达所有计算过程。】
2. 基本组成：
   • 变量（Variables）：形如 x 的标识符，用于表示参数或数值。
   • 函数（Functions）：形如 λx.M，其中 x 是参数，M 是函数体。
   • 应用（Applications）：形如 **(M N)**，表示函数 M 应用于输入 **N**。
   • 【变量是存储信息的标识符；函数定义了如何处理输入数据；应用是将函数作用于数据的过程。】

基本概念：

1. 变量：
   • 表示形式：**x、y、z** 等。
   • 角色：在表达式中用作占位符或具体值。
   • 【变量就像是空盒子，可以放入任何数据。】
2. 函数：
   • 定义形式：**λx.M，其中 x 是参数，M** 是函数体。
   • 例子：**λx.x** 是恒等函数，返回其输入值。
   • 【函数在这里不是传统意义上的函数，而是一个数据转换规则。】
3. 应用：
   • 表示形式：**(M N)，其中 M 是函数，N** 是函数的输入。
   • 操作：将函数 M 应用于输入 **N**。
   • 【应用是将规则（函数）用在具体数据（变量）上的过程，得到结果。】

相关概念的重要性质：

1. 自由变量与约束变量：
   • 约束变量：在函数定义中出现，如在 λx.x 中的 **x**。
   • 自由变量：在函数体中出现但未在参数列表中定义，如 λx.y 中的 **y**。
   • 【约束变量是函数内部使用和控制的；自由变量是从外部环境中来的，函数内部无法控制。】
2. β-归约（β-Reduction）：
   • 操作：替换函数体中的所有实例，例如 **(λx.x) a → a**。
   • 目的：实现函数的应用，是λ演算的核心计算规则。
   • 【β-归约是函数计算的过程，通过替换来简化表达式，最终得到结果。】

函数的一些常见用法的实现示例与求值：

1. 恒等函数：
   • **λx.x**：对任何输入 **x**，总返回 **x**。
   • 【恒等函数就像一个回声，你对它说什么，它就回应什么。】
2. 布尔逻辑：
   • TRUE 表示为 **λx.λy.x**，选择第一个参数。
   • FALSE 表示为 **λx.λy.y**，选择第二个参数。
   • IF 定义为 **λb.λt.λf.b t f**，根据 b 的真假选择 t 或 **f**。
   • 【在没有真和假的世界中，我们用函数来表示逻辑判断和选择。】
3. 邱奇数编码（Church numerals）：
   • 0 表示为 **λf.λx.x**，不应用函数 **f**。
   • 1 表示为 **λf.λx.f x**，应用函数 f 一次。
   • n 表示为 **λf.λx.f^n x**，应用函数 f n次。
   • 【邱奇数是用函数的应用次数来模拟数字的一种方式，非常抽象但极富创意。】

高阶函数及高阶函数的应用：

1. 柯里化（Currying）：
   • 将多参数函数转换为一系列单参数函数，例如 **λx.λy.λz.xyz**。
   • 【柯里化是一种技巧，通过转换，让函数逐个处理参数，增加了灵活性。】
2. 逻辑操作：
   • AND 定义为 **λa.λb.a b FALSE**。
   • OR 定义为 **λa.λb.a TRUE b**。
   • NOT 定义为 **λa.a FALSE TRUE**。
   • 【这些逻辑操作利用λ演算的结构来模拟电路中的逻辑门。】

组合子逻辑：

1. SKI 组合子演算：
   • 基本组合子：**I、K** 和 **S**。
   • I 等价于 λx.x，K 等价于 λx.λy.x，S 等价于 **λx.λy.λz.x z (y z)**。
   • 【SKI 组合子是一套简化的规则系统，通过这三个基本函数，可以构建任何复杂函数。】
2. 进一步简化：
   • SK 组合子演算：使用 SKK 替代 **I**。
   • ι 组合子：进一步简化，使用一个基本的变换 ι = λf.((f S) K) 实现其他组合子。
   • 【通过进一步简化，我们探索如何用最少的基本元素表达复杂的逻辑。】