分析：

根据连续的定义，一个点如果连续，那么该点的双边极限值等于函数值。一个不连续的点，其双边极限不等于函数值，就像站在一座桥上，而左右两边的路却都不通向脚下，可能通向天空或者深渊（正负无穷大），也可能通向某个空中楼阁（某定值），总之就是不通向脚下。通过想象就能知道在该点，函数就是一种“线断了”的情况。

这时最重要的其实是定义域，因为初等函数定义域之内必连续，所以如果题目是一个初等函数，找断点需要找定义域出现问题的地方，这种定义域是由多个区间的并集合成的，区间和区间之间可能是断的，因此在这些定义域交界处，需要判断一下连续性。

对初等函数而言，定义域被切断有四种情况：

1. 分段函数

2. $arctan \ x$，$arctan\frac{1}{x}$，$arccot \ x$，$arccot\frac{1}{x}$，$a^x$，$a^{\frac{1}{x}}$：比如$e^{\frac{1}{x}}$，其结构是幂$\frac{1}{x}$是一个x在0附近时，从0的左右靠近，其极限分别为正无穷、负无穷，即分别为极大或者极小，$\frac{1}{x}$又套在在x极小时趋于0、x极大时趋于无穷的函数$e^x$上，导致对$e^{\frac{1}{x}}$，从0的左右靠近0，一个没有极限（极限是∞），一个极限是0

3. 绝对值号

4. 分母不能为0

其中有些情况在具体题目中是可以合并的。具体而言，例如$a^{\frac{1}{x}}$和分母不能为零所得到的可能的断点都是同一个（x≠0），两种判断是合并的，这不冲突，其它类似的合并情况同理。

基于以上分析，我们可以从习题发现，间断点判断题一定会高频出现三角函数和幂函数（尤其是$a^{\frac{1}{x}}$类型的更是经常遇到）。

找到了理论上可能的断点位置，接下来，根据间断点的定义判断其类型即可。

例题：

题目中的x≠0是出于“分段函数”类型导致定义域被切断，而x≠1是出于$e^{\frac{1}{x-1}}$以及分母不能为0（之前提到过，这两种情况是可以合并的）